Geometria II, Analisi II

Obiettivo del corso è lo studio delle quadriche affini e proiettice e della geometria differenziale di curve e superfici

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base della geometria differenziale di curve e superfici.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, ma correlati ad argomenti svolti nel corso; # essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di geometria differenziale di curve e superfici.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la geometria delle quadriche e la geometria differenziale di curve e superfici, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula

L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.

• Classificazione delle quadriche affini e proiettive su un campo qualsiasi e in dimensione qualsiasi. Classificazione sui complessi e sui reali. Classificazione su P^3C e P^3R.

• Curve: parametrizzazione, lunghezza d’arco, teoria locale delle curve parametriche

• Superfici: superfici regolari, il piano tangente, il differenziale, la prima forma fondamentale, l'orientazione

• La mappa di Gauss: definizione e proprietà fondamentali, seconda forma fondamentale, curvatura gaussiana, la mappa di Gauss in coordinate locali, campi di vettori, isometrie

• Cenni al teorema Egregium di Gauss e al teorema di Gauss-Bonnet.

1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Geometry of curves and surfaces, Dover publications.

2. Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer.

3. Marco Abate, Francesca Tovena, Curve e Superfici, Springer.